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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
1.8.
Decidir si los conjuntos dados a continuación, están acotados superiormente y/o inferiormente. En caso afirmativo, encontrar el supremo y/o el ínfimo y decidir si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto correspondiente.
h) $\left\{y \in \mathbb{R} / y=x^{2}-3 x+2, x \in \mathbb{R}\right\}$
h) $\left\{y \in \mathbb{R} / y=x^{2}-3 x+2, x \in \mathbb{R}\right\}$
Respuesta
Acá te repito lo mismo que en el ejercicio anterior. Al involucrar una cuadrática es muuucho más fácil pensar este problema una vez que ya arrancaste a ver funciones y, en especial, funciones cuadráticas. Yo lo voy a resolver asumiendo que vos ya viste funciones cuadráticas =)
Reportar problema
Fijate que ahora nos piden los valores $y$ tales que se cumple que $x^{2}-3 x+2 = y$ ... ¿Qué es este conjunto? ¡Es la imagen de esta cuadrática! Son todos los valores en $y$ que yo podría obtener al meter cualquier número real $x$ en esa expresión. Si graficas esta parábola usando lo que vimos en funciones cuadráticas, te vas a dar cuenta que la imagen va de $[-\frac{1}{4}, +\infty)$. Ese es el conjunto que vamos a analizar...
Cota inferior: $(-\infty, -\frac{1}{4}]$
El ínfimo es $-\frac{1}{4}$, y $-\frac{1}{4}$ es un elemento del conjunto, por lo tanto es también un mínimo.
Cota superior: No está acotado superiormente, por lo tanto no tiene supremo ni máximo.