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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

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1.8. Decidir si los conjuntos dados a continuación, están acotados superiormente y/o inferiormente. En caso afirmativo, encontrar el supremo y/o el ínfimo y decidir si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto correspondiente.
h) {y∈R/y=x2−3x+2,x∈R}\left\{y \in \mathbb{R} / y=x^{2}-3 x+2, x \in \mathbb{R}\right\}

Respuesta

Acá te repito lo mismo que en el ejercicio anterior. Al involucrar una cuadrática es muuucho más fácil pensar este problema una vez que ya arrancaste a ver funciones y, en especial, funciones cuadráticas. Yo lo voy a resolver asumiendo que vos ya viste funciones cuadráticas =) 

Fijate que ahora nos piden los valores yy tales que se cumple que x2−3x+2=yx^{2}-3 x+2 = y ... ¿Qué es este conjunto? ¡Es la imagen de esta cuadrática! Son todos los valores en yy que yo podría obtener al meter cualquier número real xx en esa expresión. Si graficas esta parábola usando lo que vimos en funciones cuadráticas, te vas a dar cuenta que la imagen va de [−14,+∞)[-\frac{1}{4}, +\infty). Ese es el conjunto que vamos a analizar... 

Cota inferior: (−∞,−14](-\infty, -\frac{1}{4}]
El ínfimo es −14-\frac{1}{4}, y −14-\frac{1}{4} es un elemento del conjunto, por lo tanto es también un mínimo. 
Cota superior: No está acotado superiormente, por lo tanto no tiene supremo ni máximo. 
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